Solow (P1): Xây dựng mô hình Solow giản đơn

Mô hình Solow, được đề xuất bởi nhà kinh tế học lỗi lạc đã đoạt giải Nobel Robert Solow vào năm 1956, là một trong những bộ phận quan trọng nhất của kinh tế học đương đại trong việc phân tích khả năng sản xuất của một nền kinh tế (production function). Mô hình Solow tuy đơn giản, nhưng lại vô cùng quan trọng và đóng vai trò làm nền tảng cho ta thấy được nền kinh tế tăng trưởng như thế nào.

Đây là bài viết đầu tiên trong series bài viết nhằm làm rõ mô hình tăng trưởng ngoại sinh Solow.

Robert Solow

Robert Solow. Nguồn: National Medals (https://nationalmedals.org/laureate/robert-m-solow/)

Robert Solow sinh ra tại Brooklyn, New York trong một gia đình gốc Do Thái vào ngày 23/08/1924. Ông học lấy bằng cử nhân, MA và PhD tại Harvard. Giáo sư hướng dẫn của ông là Leontief, một nhà kinh tế rất nổi tiếng, cha đẻ của ma trận sản xuất (Leontief Matrices) mà hiện nay được nghiên cứu rất nhiều. Ông dạy môn thống kê và kinh tế lượng tại MIT và là một người theo trường phái Keynes. Ông cũng là giáo sư hướng dẫn của rất nhiều kinh tế gia nổi tiếng khác như Peter A. Diamond (cha đẻ của mô hình Diamond’s overlapping generations model), Micheal Woodford (người có đóng góp quan trọng trong lý thuyết về tiền tệ, lãi suất và lạm phát), hay Mario Draghi (cựu chủ tịch ECB). Ông nhận giải Nobel về kinh tế học năm 1987. Theo một bảng xếp hạng trên Repec thì Solow đứng hạng thứ 5 trong top những người ảnh hưởng nhất về kinh tế học (dựa trên thành tích của các học sinh).

Mô hình tăng trưởng ngoại sinh Solow (hay còn gọi là Solow-Swan growth model) là nền tảng của các mô hình tăng trưởng kinh tế sau này. Ngoại sinh là bởi vì một biến quan trọng trong sản xuất là “tiết kiệm/đầu tư” là biến cho trước (không được quy định trong mô hình). Đây là nền tảng và cũng là nguồn cảm hứng cho các tác giả sau này nhằm “nội sinh hoá” nó, kinh điển là mô hình Ramsey-Cass-Koopsman (RCK model) với infinite horizon và mô hình Diamond (OverLapping Generations (OLG) Diamond’s model) với finite horizon và continous entry. Chắc chắn mình sẽ viết về hai mô hình này trong tương lai, vì mình làm khoá luận về mô hình OLG. Còn bây giờ, chúng ta đến với viên gạch đầu tiên trong lý thuyết về tăng trưởng kinh tế.

Hàm sản xuất (Production Function)

Mô hình Solow được xây dựng xoay quanh chủ yếu 2 phương trình quan trọng nhất, đó là hàm sản xuất (production function) và phương trình tích luỹ tư bản (capital accumulation equation). Hàm sản xuất mô tả làm sao mà những máy móc, nhà xưởng (gọi chung là tư bản – capital (K)), kết hợp với các kỹ sư, công nhân (gọi chung là lao động – labor (L)) kết hợp với nhau để sản xuất ra sản phẩm (gọi chung là output (Y)). K và L được gọi là input factor và hàm sản xuất đó có dạng như sau:

Y = F(K,L) = K^\alpha L^{1-\alpha} (1)

Trong đó thì hệ số \alpha (alpha) nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Hàm sản xuất này gọi là hàm Cobb-Douglas do Charles Cobb và Paul Douglas (1928) đề xuất khi họ nghiên cứu ngành công nghiệp chế tạo của Mỹ. Hệ số \alpha sẽ cho chúng ta biết, tỷ trọng tư bản và lao động chiếm bao nhiêu trong việc tạo ra output. Hơn thế nữa, hàm sản xuất dạng này có hiệu suất không đổi theo quy mô. Nghĩa là nếu đầu vào tăng gấp đôi, thì output sẽ tăng gấp đôi.

Các hãng (firms) trong nền kinh tế này sẽ trả cho MỖI lao động một khoản lương gọi là w (wage) và sẽ phải trả một khoản tiền r (rent) cho MỖI đơn vị tư bản. Đây là những chi phí đầu vào (factor payment) mà hãng phải trả để đối lấy sức lao động và tư bản nhằm phục vụ mục đích sản xuất. Chúng ta cũng đặt ra thêm một giả thuyết nữa, đó là chúng ta có số hãng đủ lớn trong nền kinh tế để đảm bảo rằng nên kinh tế ở trạng thái cạnh tranh hoàn hảo, tất cả các hãng đều là “người nhận giá”. Bên cạnh đó, với việc là hàm có hiệu suất không đổi theo quy mô, số lượng các hãng là không xác định (vô số hãng) và như vậy không cần thiết phải có mặt trong mô hình này.

Chúng ta có thể quy giá cả của output về 1 (unity), như vậy giá trị các biến đều là giá trị thực. Các hãng sẽ lựa chọn K và L nhằm tối đa hoá lợi nhuận theo objective function sau:

\max_{K,L} \pi = F(K,L) - rK - wL

Theo như kiến thức kinh tế vi mô, để tối đa hoá lợi nhuận thì các hãng sẽ thuê nhân công cho đến khi nào năng suất cận biên của lao động bằng với chi phí cận biên của nó (tức là lương – wage), và tương tự, sẽ thuê tư bản cho đến khi nào năng suất cận biên của tư bản bằng với chi phí cận biên của nó (tức là rent). Như vậy, các hãng sẽ quyết định số lượng nhân công và tư bản dựa theo biểu thức dưới đây:

w = \frac{\partial F}{\partial L} = (1-\alpha) \frac{Y}{L}

r = \frac{\partial F}{\partial K} = \alpha \frac{Y}{K}

Có ba điều đáng chú ý được rút ra từ đây.

Một, do giá đã được chuẩn hoá (normalized) về 1, nên w, r mang giá trị thực (real value) và tất nhiên, chúng ta không cần quan tâm đến giá trị danh nghĩa của chúng.

Hai, đó là rK + wL = Y. Tức là chi phí đầu vào sản xuất bằng chính đầu ra. Điều này hàm ý rằng, lợi nhuận mà các hãng nhận được là bằng 0. Đây là một đặc tính đặc trưng của thị trường hoàn hảo và hiệu suất kinh tế không đổi theo quy mô.

Ba, đó là tỷ trọng chi phí trả cho lao động và tư bản trên output là không đổi.

wL/Y = 1 - \alpha

rK/Y = \alpha

Trong kinh tế thì chúng ta đặc biệt quan tâm đến output trên đầu người hoặc tư bản trên đầu người hơn là con số tổng. Ví dụ, GDP Trung Quốc hiện nay là khoảng 13.6 nghìn tỷ USD trong khi của Nhật Bản chỉ có 5 nghìn tỷ USD, nhưng như vậy có phải Trung Quốc giàu hơn không? Không hẳn, bởi vì GDP đầu người của Trung Quốc chỉ có 9,800 USD trong khi con số này của Nhật Bản là 39,000 USD.

Do đó, chúng ta sẽ biểu diễn phương trình (1) dưới dạng per worker bằng cách chia cả 2 vế cho L. (Ở mô hình này, chúng ta sẽ coi tất cả mọi người đều là lao động, tỷ lệ thất nghiệp = 0, do đó hai khái niệm tư bản trên đầu người và tư bản trên lao động coi như là một. Tất nhiên thực tế sẽ khác nhưng việc đơn giản hoá như vậy sẽ giúp ta dễ tập trung vào vấn đề cốt lõi của mô hình.)

y = k^\alpha

trong đó y = Y/L và k = K/L.

Khi lượng tư bản cho mỗi lao động (k) càng lớn thì sản lượng trên mỗi lao động càng tăng. Tuy nhiên,  nó có hiệu suất cận biên giảm dần. Một đơn vị tư bản tăng thêm cho mỗi lao động vẫn sẽ làm sản lượng trên mỗi lao động tăng lên, nhưng lượng tăng thêm sẽ ít dần đi.

Phương trình tích luỹ tư bản (capital accumulation equation)

Phương trình quan trọng thứ hai của mô hình Solow là phương trình tích luỹ tư bản.

\dot{K} = sY - \delta K (2)

Phương trình này nói rằng, sự thay đổi về dung lượng vốn (capital stock) ở vế trái, bằng với tổng đầu tư (investment) của nền kinh tế (sY) trừ đi khấu hao (delta) của tư bản trong quá trình sản xuất (\delta K ) ở vế phải. Vế trái thực chất có thể được biểu diễn dưới dạng:

\dot{K} = \frac{dK}{dt} = \frac{K_{t+1} - K_t}{t+1 - t}

Dấu chấm thể hiện sự biến đổi của biến số trong một khoảng thời gian nào đó.

Ở bên vế phải thì ký hiệu của đầu tư là s (0 \leq s \leq 1) , hàm ý đầu tư chính là tiết kiệm (saving). Đây là số tiền còn lại từ thu nhập sau khi lao động tiêu dùng. s là tỷ lệ tiết kiệm trong tổng thu nhập mà họ nhận được từ các hãng, chính là Y = wL + rK , nên suy ra tổng tiết kiệm của nền kinh tế là sY . Giống như ngoài đời thực, bạn gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng và nhận lãi suất, trong khi đó các hãng vay tiền của ngân hàng phục vụ nhu cầu sản xuất và trả lợi tức lại cho ngân hàng. Như vậy, nếu bỏ qua vai trò trung gian của ngân hàng thì thực chất người lao động đang cho các hãng vay tư bản để sản xuất, hay nói cách khác là đang sở hữu các hãng.

Số hạng tiếp theo bên vế phải của phương trình (2) thể hiện sự khấu hao của tư bản trong quá trình sản xuất. Hệ số \delta thể hiện rằng, cứ sau mỗi lần K được sử dụng tại thời điểm t thì giá trị của nó sẽ mất đi một lượng bằng \delta K . Ví dụ, nếu \delta = 0.05 thì có nghĩa là tư bản sẽ khấu hao 5% sau mỗi năm, nói cách khác, lượng tư bản còn lại có thể đem ra sử dụng vào quá trình sản xuất năm sau là 95% lượng tư bản năm nay.

Để xem sản lượng đầu người tiến hoá như nào trong nền kinh tế này, ta phải biểu diễn phương trình (2) dưới dạng đầu người. Để làm điều đó, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “take (natural) logs then derivatives”

Một số tính chất quan trọng của hàm logarit:

  1. y = a.b \rightarrow  \ln(y) = \ln(a) + \ln(b)
  2. y = a/b \rightarrow \ln(y) = \ln(a) - \ln(b)
  3. y =k^\alpha \rightarrow \ln(y) = \alpha ln(k)
  4. y = f(x) = \ln(x) \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}
  5. y(t) = \ln (x(t)) \rightarrow \dot{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{1}{x} \dot{x} = \frac{\dot{x}}{x}
    Điều số 5 phát biểu rằng, nếu đổi một biến sang dạng log và lấy đạo hàm của nó theo thời gian, ta sẽ có được tốc độ tăng trưởng của biến đó.

Nếu áp dụng điều 5 vào định nghĩa của tư bản trên đầu người:

k \equiv \frac{K}{L} \rightarrow \log(k) = \log(K) - \log(L) \rightarrow \frac{\dot{k}}{k} = \frac{\dot{K}}{K} - \frac{\dot{L}}{L}

Như vậy, tốc độ tăng trưởng tư bản trên đầu người bằng hiệu của tốc độ tăng trưởng tư bản trừ đi tốc độ tăng trưởng của lao động. \dot{K} là sự tăng thêm của tư bản tích luỹ sau mỗi thời kỳ, đã được định nghĩa ở trên. Chúng ta có thể đặt tốc độ tăng trưởng của lao động (thường là tỷ lệ gia tăng dân số) là \frac{\dot{L}}{L} = n và biểu diễn phương trình ở trên như sau:

\frac{\dot{k}}{k} = \frac{sY - \delta K}{K} - \frac{\dot{L}}{L} = \frac{sY}{K} - \delta - n = \frac{sY/L}{K/L} - \delta  -n = \frac{sy}{k} - \delta - n

Nhân chéo và ta sẽ thu được phương trình tích luỹ tư bản trên đầu người:

\dot{k} = sy - (\delta + n)k

Phương trình này phát biểu rằng, tư bản trên đầu người sẽ tăng lên cùng với sự tăng lên của tỷ lệ tiết kiệm/đầu tư, trong khi đó, nó sẽ giảm đi cùng với sự tăng lên của khấu hao và tỷ lệ tăng dân số. Tưởng tượng rằng, ban đầu tư bản đầu người là K/L. Sau mỗi gia đoạn, có thêm nL lao động mới được bổ sung vào nền kinh tế, nếu như không có thêm đầu tư gì mới, và khấu hao giữ nguyên ở mức như cũ, tức là K giữ nguyên, thì tư bản trên đầu người ở thời kỳ mới trở thành K/(L + nL) < K/L.

Đây là phương trình quan trọng thứ hai làm nên mô hình Solow đơn giản.

Photo by Ira Wyman/Sygma via Getty Images

Như vậy, nền kinh tế trong mô hình Solow vận động theo các phương trình sau:

y = k^\alpha

\dot{k} = sy - (n+\delta)k

Việc tiếp theo là chúng ta cần làm là “giải mô hình”, nói cách khác là kiểm tra điểm hội tụ của k (convergence) và tính toán xem điểm hội tụ đó là bao nhiêu. Phần giải mô hình sẽ được đề cập ở P3, trong khi đó P2 sẽ nêu lên một số tính chất quan trọng, intuitions của nó bằng cách nhìn vào sơ đồ Solow (Solow diagram).

(còn tiếp)

Tham khảo:

Jones, C. I. (1998). Introduction to economic growth (No. 338.9 J76). WW Norton.

Romer, D. (2012). Advanced macroeconomics. Mcgraw-hill.


Dự kiến loạt bài về mô hình tăng trưởng Solow (tăng trưởng ngoại sinh):

Simple Solow:

(P1) Model formulation

(P2) Solow diagram

(P3) Impacts from exogenous changes.

(P4) Steady state & transitional dynamics

Technology-augmented Solow:

(P5) Model formulation and conditions

(P6) Dynamics of k

(P7) Steady state and the balanced growth path

(P8) Golden Rule and Dynamic Inefficiency

(P9) Exogenous impacts on k

(P10) The speed of convergence

(P11) Central questions to growth theory

(P12) Growth accounting

(P13) Application: Human capital model

(P14) The difference in growth rates

Environmental factors and Solow

(P15) Model formulation and balanced growth path

(P16) Growth drag & pollution

(P17) Quantitative Illustration

Để lại bình luận

Điền thông tin vào ô dưới đây hoặc nhấn vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.