Tháng 8/1945, Mỹ thả hai quả bom nguyên tử xuống Hiroshima và Nagasaki. Bốn thập niên sau, kho vũ khí hạt nhân của thế giới đạt đỉnh khoảng 70.300 đầu đạn, phần lớn nằm trong tay Mỹ và Liên Xô.[1]
Vậy mà không bên nào dùng chúng để đánh bên kia. Hai nước đổ tiền vào một thứ vũ khí mà hễ dùng đến là có thể tự diệt mình. Có nó để đối phương không dám đánh. Đối phương cũng có nó, nên mình cũng không dám đánh.
Hình 1 · Số đầu đạn hạt nhân của Mỹ và Liên Xô/Nga, 1945–2013
Lý thuyết trò chơi giải thích được một phần nghịch lý ấy, và phần lớn nằm ở một chiến lược có cái tên nghe khá rùng mình: Grim Trigger, tạm dịch là kích hoạt báo tử. Nguyên tắc gói trong một câu. Tôi hợp tác chừng nào anh còn hợp tác. Anh phản bội một lần, hợp tác chấm dứt vĩnh viễn.
Live and let live
Trong Thế chiến I, ở vài đoạn mặt trận phía Tây, lính hai bên tự đặt ra những luật lệ kỳ lạ. Có giờ họ không bắn nhau. Có chỗ họ để đối phương đi tiếp tế mà không pháo. Những thoả thuận ngầm ấy sống được giữa chiến tranh, nhiều khi trái ý chỉ huy. Axelrod gọi đó là live and let live: sống và để cho sống.[2]
Hình 2 · Chiến hào ở mặt trận phía Tây, Thế chiến I
Vì sao lại như vậy? Nếu hôm nay mình phá đường tiếp tế của bên kia, ngày mai họ cũng có thể làm điều tương tự. Cùng một đơn vị đối phương ở bên kia chiến hào suốt nhiều ngày, nhiều tuần. Bắn hôm nay có thể giúp mình đạt một mục tiêu trước mắt, nhưng cũng khiến những ngày sau khó sống hơn.
Những người lính ấy không cần trở thành bạn của nhau. Họ chỉ cần hiểu rằng hành động hôm nay sẽ ảnh hưởng đến cách đối phương đối xử với mình ngày mai.
Chuyện này không chỉ có trong chiến tranh. Một cửa hàng có thể bán cho bạn món hàng kém chất lượng để kiếm lời một lần. Nếu còn muốn bạn quay lại, họ phải cân khoản lợi ấy với những lần mua hàng về sau. Quan hệ càng kéo dài, cái giá của việc làm mất lòng tin càng lớn.
Cách trực quan nhất để hình dung mô hình này là dựng nó thành một trò chơi. Giả sử có hai bên, A (Allied) và B (German). Ở mỗi lượt, họ cùng chọn một trong hai hành động: hợp tác, ký hiệu M (miss), hoặc phản bội, ký hiệu K (kill). Mỗi bên quyết định mà chưa biết lựa chọn của bên kia.
Lợi ích được mô tả bằng bảng dưới đây. Số đứng trước là của A, số đứng sau là của B.
| A \ B | M | K |
|---|---|---|
| M | 4,4 | 0,6 |
| K | 6,0 | 2,2 |
Nếu cả hai hợp tác, mỗi bên được 4. Nếu mình phản bội trong khi đối phương hợp tác, mình được 6 còn họ được 0. Nếu cả hai cùng phản bội, mỗi bên được 2.
Đặt mình vào vị trí A. Nếu B hợp tác, A phản bội được 6 thay vì 4. Nếu B phản bội, A phản bội vẫn được 2 thay vì 0. Dù B chọn gì, A cũng có lợi hơn khi chọn K. Người ta gọi K là chiến lược trội ngặt (strictly dominant). B tính toán y hệt, và cũng chọn K. Kết quả: cả hai phản bội, mỗi người nhận 2.
Đó là cân bằng Nash. Khi đối phương đang phản bội, không ai cải thiện được lợi ích bằng cách tự chuyển sang hợp tác. Cấu trúc này chính là thế lưỡng nan của người tù. Một kết cục tốt hơn cho cả hai không tự duy trì được khi mỗi người tự quyết định.
“Nếu chỉ gặp nhau một lần, mô hình dự đoán cả hai sẽ phản bội. Nhưng nếu ngày mai vẫn phải gặp lại thì sao?
Ngày mai vẫn còn gặp nhau
Khi trò chơi được lặp lại, hành động hôm nay để lại một lịch sử. B có thể nhìn vào cách A đã cư xử để quyết định ngày mai có tiếp tục hợp tác hay không.
Hình 3 · Cây trò chơi hai lượt. Mỗi nút là một tập thông tin.
Lúc này, “chiến lược” không còn chỉ là chọn M hay K. Nó là một kế hoạch ứng xử có điều kiện. Chẳng hạn: tôi hợp tác trước; nếu anh giữ lời thì tôi tiếp tục; nếu anh phản bội thì tôi ngừng hợp tác.
Để biết kế hoạch ấy có hợp lý không, phải so sánh lợi ích trước mắt với lợi ích về sau. Gọi δ (đọc là “delta”) là hệ số chiết khấu, với 0<δ<1. Lợi ích ở lượt sau được nhân với δ, ở hai lượt sau nhân với δ2, và cứ thế.
Một chuỗi lợi ích u1,u2,u3,… có giá trị hiện tại:
V=u1+δu2+δ2u3+⋯.
Với δ=0,9, 4 đơn vị lợi ích ở lượt sau chỉ còn đáng 3,6 đơn vị hôm nay. δ càng gần 1, người chơi càng coi trọng tương lai.
Có cách khác để hiểu δ. Thay vì chiết khấu, hãy coi mỗi lượt có xác suất p là còn tiếp tục. Lợi ích kỳ vọng khi ấy có dạng u1+pu2+p2u3+⋯, và p đóng vai trò y như δ. Nếu vừa chiết khấu với hệ số β vừa có xác suất sống sót p, hệ số hiệu dụng là δ=βp.
Nói cách khác, còn nhiều thứ để mất ở phía trước thì người ta cân nhắc kỹ hơn trước khi kiếm lợi bằng một lần phản bội.
Nếu biết chắc ngày kết thúc thì sao?
Giả sử A và B biết rằng chỉ còn đúng hai lượt, xong là hết. Không giao dịch tiếp theo, không danh tiếng cần giữ, không hậu quả nào nằm ngoài hai lượt ấy.
Ở lượt cuối, chẳng còn ngày mai để thưởng hay phạt. Hai bên quay về bài toán một lần và cùng chọn phản bội.
Biết trước điều đó, ở lượt đầu họ cũng không có lý do giữ lời. Dù hôm nay hợp tác thì ngày mai đối phương vẫn phản bội. Kết quả: cả hai chọn K ở cả hai lượt.
Hình 4 · Quy nạp ngược trên cây hai lượt
Với 100 lượt, lập luận không đổi. Bắt đầu từ lượt 100, lùi về 99, 98, cho đến lượt đầu. Cách lập luận này gọi là quy nạp ngược (backward induction).
Kết quả ấy dựa trên vài giả định: cùng một trò chơi được lặp lại, các bên biết rõ lợi ích của nhau, biết chắc lượt cuối, và không có phần thưởng hay tổn thất nào sau đó. Đổi môi trường, kết quả đổi theo.
Người ta hay liên hệ giả thiết này với hạn mức của một hiệp định hay nhiệm kỳ của một chính trị gia. Nhưng một hiệp ước hết hạn không có nghĩa quan hệ giữa hai nước chấm dứt. Một tổng thống mãn nhiệm cũng không làm cả quốc gia thôi quan tâm đến tương lai, vì còn quốc hội, còn chính quyền kế tiếp. Ngày kết thúc của một văn bản hay một nhiệm kỳ chưa chắc là ngày kết thúc của trò chơi.
Ngược lại, nếu không có lượt cuối biết trước để bắt đầu quy nạp ngược, hợp tác có cơ hội tồn tại.
Grim Trigger: chỉ được phản bội một lần
Sẽ ra sao nếu trò chơi kéo dài vô tận?
Hình 5 · Cây trò chơi lặp lại vô hạn
Cho A và B chơi tiếp mà không biết khi nào kết thúc. Cả hai cùng dùng chiến lược sau:
Bắt đầu bằng hợp tác. Tiếp tục hợp tác chừng nào trong quá khứ cả hai chưa từng phản bội. Nếu đã có bất kỳ bên nào phản bội, từ lượt sau trở đi cả hai chọn K mãi mãi.
Đó là Grim Trigger. Phần “grim” nằm ở chỗ hình phạt không có ngày kết thúc. Một lần vi phạm là đủ, không có chuyện làm lại từ đầu.
Nghe cực đoan. Nhưng chính sự cực đoan ấy khiến việc phản bội trở nên đắt.
Nếu A giữ lời và B cũng vậy, mỗi lượt A nhận 4. Giá trị của việc tiếp tục hợp tác:
VC=4+4δ+4δ2+⋯=41−δ.
Giả sử A phản bội ngay bây giờ, trong khi B vẫn hợp tác. A nhận ngay 6. Người ta gọi đây là one-shot deviation, phản bội đúng một lần rồi quay lại chiến lược cũ. Trong hình, đó là nhánh màu xanh lá.
Hình 6 · Một lần lệch khỏi Grim Trigger (màu xanh lá)
Nhưng lịch sử đã ghi nhận một lần phản bội, nên Grim Trigger kích hoạt. Từ đây, phản ứng tốt nhất của B là phản bội mãi mãi. A cũng chuyển sang K, và mỗi lượt sau chỉ còn 2:
VD=6+2δ+2δ2+⋯=6+2δ1−δ.
A sẽ không phản bội nếu VC≥VD, tức là:
41−δ≥6+2δ1−δ.
Nhân hai vế với 1−δ rồi thu gọn:
4≥6−4δ⟺ δ≥12.
Phản bội giúp A kiếm thêm 2 điểm ngay hôm nay, nhưng mất 2 điểm ở mỗi lượt về sau. Nếu tổng giá trị của những khoản mất ấy đủ lớn, 2 điểm trước mắt không còn đáng.
| Hệ số δ | VC | VD | Lựa chọn có lợi hơn |
|---|---|---|---|
| 0,4 | 6,67 | 7,33 | Phản bội |
| 0,5 | 8,00 | 8,00 | Hai lựa chọn ngang nhau |
| 0,9 | 40,00 | 24,00 | Hợp tác |
Ngưỡng 1/2 nói một điều đơn giản: nếu hai bên coi tương lai đủ quan trọng, họ sẽ giữ lời.
Đã doạ thì có làm thật không?
Luận điểm trên còn một chỗ cần kiểm tra. Giả sử đã có người phản bội và hình phạt bắt đầu. Khi ấy, mỗi bên có thực sự muốn làm theo lời đe doạ không?
Trong bảng lợi ích trên, câu trả lời là có. Khi đối phương chọn K, mình chọn K được 2, còn chuyển sang M chỉ được 0. Hợp tác lại một lần cũng không xoá được lịch sử vi phạm, nên không khiến đối phương ngừng phạt.
Hình phạt vì thế tự duy trì được: mỗi bên vẫn muốn thực hiện nó khi biết bên kia cũng đang làm như vậy.
Trong lý thuyết trò chơi, đây là yêu cầu của cân bằng hoàn hảo trong trò chơi con (subgame-perfect equilibrium, SPE). Nói gọn, chiến lược phải hợp lý cả khi mọi chuyện diễn ra đúng dự kiến lẫn sau khi đã có chuyện ngoài dự kiến. Một lời đe doạ mà đến lúc thực hiện người ta lại muốn rút lui thì chưa đủ.
Với bộ số trên, khi δ≥1/2, cả hai cùng dùng Grim Trigger tạo thành một SPE. Trên đường cân bằng, không ai phản bội, và hình phạt không bao giờ được thực hiện.[3]
Một hình phạt có thể tác động đến hành vi dù chưa lần nào xảy ra. Người ta kiềm chế vì biết nó sẽ xảy ra nếu mình phá vỡ thoả thuận.
Nhưng hợp tác là một cân bằng không có nghĩa nó là kết cục duy nhất. Cả hai luôn chọn K, bất kể quá khứ, cũng là một SPE. Lý thuyết cho thấy hợp tác có thể đứng vững. Còn các bên có thực sự phối hợp được vào kết cục ấy hay không lại phụ thuộc vào lịch sử, kỳ vọng và cách họ giao tiếp.
Từ trò chơi trên giấy đến vũ khí hạt nhân
Đến đây, có vẻ chỉ cần thay A và B bằng Mỹ và Liên Xô, thay M bằng “không phóng”, K bằng “phóng”, là xong.
Nhưng làm vậy sẽ bỏ qua một vấn đề rất lớn.
Trong trò chơi lặp lại, sau mỗi lượt hai bên vẫn còn đó và lại chơi một lượt giống như trước. Còn nếu đã xảy ra chiến tranh hạt nhân toàn diện, dân số, hạ tầng, bộ máy nhà nước và khả năng ra quyết định đều có thể bị phá huỷ. Không thể mặc nhiên cho rằng hôm sau hai bên lại ngồi vào bàn và nhận 2 điểm như hôm trước.
Hình 7 · Vụ nổ hạt nhân
“Phản bội mãi mãi” là một hình phạt có nghĩa trong mô hình. “Phóng tên lửa hạt nhân mãi mãi” thì không phải cách mô tả hợp lý một cuộc chiến thực tế.
Grim Trigger hữu ích khi nghĩ về những tương tác còn khả năng lặp lại: duy trì thoả thuận, trao đổi thông tin, hợp tác kiểm soát vũ khí. Với quyết định sử dụng vũ khí hạt nhân, cần thêm một trò chơi động, nơi đòn tấn công có thể làm thay đổi hẳn trạng thái của thế giới.
Có đánh trước cũng không tránh được trả đũa
Một khái niệm quan trọng ở đây là khả năng trả đũa sau khi bị tấn công, hay second-strike capability. Đó là khả năng một bên vẫn gây được thiệt hại rất lớn cho đối phương dù đã hứng đòn đầu tiên.
Hình 8 · Tên lửa được phóng từ bệ phóng mặt đất
Nếu tin rằng tấn công trước sẽ xoá sổ hoàn toàn khả năng đáp trả của đối phương, người ta có thể thấy đòn đánh ấy hấp dẫn. Nhưng nếu biết đối phương vẫn trả đũa được, lợi ích kỳ vọng của việc ra tay trước khác hẳn.
Đây là cơ sở của logic mutually assured destruction (MAD). Sức răn đe nằm ở chỗ khó có một chiến thắng nào mà người ra tay trước vẫn tránh được tổn thất không thể chấp nhận.
Để thấy khác biệt với Grim Trigger, hãy tưởng tượng một trò chơi rút gọn. Mỗi bên chọn giữa kiềm chế và khởi xướng tấn công; lợi ích của việc tấn công đã tính cả phản ứng trả đũa. Nếu đánh trước còn tệ hơn tiếp tục kiềm chế, thì không cần chờ hình phạt ở các lượt sau mới thấy đánh trước là không có lợi.
Nhưng ở đây có một điều kiện: phản ứng trả đũa phải được đối phương tin là có thể xảy ra. Chỉ có phương tiện trả đũa chưa đủ để chứng minh người có quyền quyết định chắc chắn sẽ dùng nó. Muốn giải thích điều ấy, phải xem tiếp động cơ và những lựa chọn còn lại của họ sau khi bị đánh.
Vì vậy, không thể vừa giả định “đánh trước chắc chắn có lợi nhất”, vừa coi khả năng trả đũa đáng tin là điều đã được bảo đảm, mà không giải thích hai điều ấy liên hệ với nhau ra sao.
Cũng không thể suy từ MAD rằng mọi quốc gia đều thích “cùng bị huỷ diệt” hơn “bị đánh mà không trả đũa”. Đó là một giả định về lợi ích và lựa chọn, không phải hệ quả tự động của việc sở hữu vũ khí hạt nhân.
Lý thuyết trò chơi buộc mình phải hỏi những câu khá khó chịu như vậy. Một bảng số gọn gàng chưa chắc đã mô tả đúng vấn đề đang muốn giải thích.
Điểm yếu của một lời đe doạ vĩnh viễn
Ngay trong thế giới đơn giản của mô hình, Grim Trigger cũng không phải giải pháp hoàn hảo.
Khi cái lợi trước mắt quá lớn
Trong trường hợp tổng quát, gọi T là lợi ích khi phản bội trong lúc bên kia hợp tác, R là lợi ích khi cả hai hợp tác, P là lợi ích khi cả hai phản bội, và S là lợi ích của người hợp tác đơn phương. Thế lưỡng nan của người tù có thứ tự:
T>R>P>S.
T viết tắt cho temptation, sự cám dỗ. Điều kiện để Grim Trigger duy trì hợp tác là:
δ≥T−RT−P.
Công thức này giải thích vì sao có những quan hệ dễ giữ lời hơn những quan hệ khác. Phản bội càng đem lại khoản lợi lớn, sức hấp dẫn của việc giữ lời càng giảm. Hợp tác càng có giá trị, người ta càng tiếc tương lai ấy. Giai đoạn trừng phạt càng nhẹ, lời đe doạ càng bớt đáng sợ.
| Thay đổi, giữ các yếu tố khác không đổi | Hệ quả đối với hợp tác |
|---|---|
| Lợi ích phản bội T tăng | Cần coi trọng tương lai hơn để giữ lời |
| Lợi ích hợp tác R tăng | Dễ duy trì hợp tác hơn |
| Lợi ích trong giai đoạn trừng phạt P tăng | Hình phạt bớt nặng, hợp tác khó duy trì hơn |
Hàng cuối nghe hơi ngược đời: làm giai đoạn trừng phạt dễ chịu hơn lại khiến răn đe yếu đi. Nhưng đó là kết quả khi chỉ thay đổi P. Không thể từ đó kết luận mọi công nghệ phòng thủ đều làm chiến tranh dễ xảy ra hơn. Trong thực tế, một thay đổi công nghệ có thể tác động đồng thời đến nhiều lợi ích, đến khả năng sống sót và cả cách các bên đánh giá nhau.
Tương tự, nếu δ thấp hơn ngưỡng, điều vừa chứng minh là Grim Trigger không duy trì được hợp tác như dự kiến. Muốn kết luận không còn cân bằng hợp tác nào khác, phải có thêm lập luận về toàn bộ tập chiến lược. Một chiến lược thất bại không tự động giải quyết xong cả trò chơi.
Khi cả hai đều muốn bỏ hình phạt
Giả sử A đã phản bội và hai bên bắt đầu trừng phạt nhau. Sau một thời gian, cả hai đều thấy mỗi lượt chỉ được 2 trong khi hợp tác thì được 4. Vậy tại sao không nói chuyện rồi làm lại từ đầu?
Hình 9 · Tượng đài tái hiện cuộc ngừng bắn Giáng sinh 1914, Liverpool
Đó là vấn đề tái thương lượng (renegotiation).
SPE kiểm tra xem từng người có muốn tự mình đổi hành động hay không, trong khi những người khác giữ nguyên chiến lược. Nó không bảo đảm cả hai sẽ từ chối một thoả thuận mới có lợi cho đôi bên.
Grim Trigger vì thế có một điểm khó. Muốn ngăn phản bội hôm nay, nó đòi hỏi hình phạt ngày mai phải kéo dài mãi. Nhưng khi ngày mai đến, chính những người thực hiện hình phạt lại có thể muốn kết thúc nó.
Điều này giải thích vì sao người ta quan tâm đến các chiến lược có đường quay lại hợp tác. Ví dụ nổi tiếng là tit-for-tat: hợp tác ở lượt đầu, sau đó làm theo hành động của đối phương ở lượt ngay trước.[2]
Tit-for-tat cũng không tự động giải quyết mọi chuyện. Nếu một lỗi khiến một bên phản bội, hai người cùng bắt chước đối phương có thể rơi vào chuỗi trả đũa luân phiên. Muốn có cơ chế biết tha thứ, còn phải thiết kế cách dừng chuỗi ấy, chứ không chỉ đổi tên chiến lược.
Khi đến lúc lại không muốn thực hiện
Trong ví dụ ban đầu, phản bội là phản ứng tốt nhất khi đối phương phản bội, nên hình phạt tự nó là một cân bằng. Đổi thứ tự lợi ích, điều này có thể không còn đúng.
Chẳng hạn, giả sử cùng phản bội là kết cục tệ nhất:
T>R>S>P.
Cấu trúc này thường được gọi là trò chơi Chicken. Khi đối phương chọn K, mình chọn M được S, còn chọn K chỉ được P<S. Lời đe doạ “anh chọn K, tôi cũng chọn K mãi mãi” không tự duy trì được như trước.
Nhưng đây vẫn là trò chơi lựa chọn đồng thời. Nó chưa trả lời trọn vẹn câu hỏi một quốc gia sẽ làm gì sau khi đã bị tấn công. Để trả lời câu hỏi tuần tự đó, phải mô tả những gì còn cứu vãn được, chi phí của việc đáp trả và các lựa chọn tiếp theo.
Sự phân biệt này quan trọng vì “có khả năng trừng phạt” và “có động cơ trừng phạt khi đến lúc” là hai việc khác nhau. Một lời tuyên bố cứng rắn có thể khiến người nghe dè chừng, nhưng độ cứng rắn của ngôn từ không thay thế được động cơ thực hiện.
Các cơ chế cam kết làm lời đe doạ khó rút lại hơn. Đồng thời, chúng cũng thu hẹp khả năng sửa sai khi thông tin ban đầu là sai. Trong bối cảnh hạt nhân, đó là một đánh đổi đáng lo: làm đối phương tin rằng mình sẽ phản ứng không có nghĩa mọi phản ứng ấy đều được đưa ra trên cơ sở thông tin đúng.
Khi người ta hiểu nhầm nhau
Mô hình ban đầu giả định cả hai quan sát chính xác hành động đã xảy ra. Thực tế, mình không nhìn thấy trực tiếp ý định và quyết định của đối phương. Mình thấy tín hiệu, rồi phải diễn giải.
Hình 10 · Bản đồ Cuba với các vòng bán kính tên lửa, Khủng hoảng tên lửa Cuba 1962
Ngày 26/9/1983, hệ thống cảnh báo sớm của Liên Xô báo có tên lửa Mỹ bay tới. Stanislav Petrov, sĩ quan trực, đánh giá đó là báo động giả. Cảnh báo ấy sai thật.[4]
Không nên kể câu chuyện này như thể Petrov là người duy nhất có một nút bấm quyết định vận mệnh thế giới. Vai trò của ông nằm trong một chuỗi cảnh báo và ra quyết định. Nhưng sự việc cho thấy một vấn đề rõ ràng: thiết bị có thể phát tín hiệu giống một cuộc tấn công trong khi cuộc tấn công ấy không tồn tại.
Nếu áp dụng cơ chế “thấy tín hiệu vi phạm là phạt vĩnh viễn”, sai sót không còn chỉ gây mất một lượt hợp tác. Nó có thể đẩy cả quan hệ sang một trạng thái tồi tệ mà không có lối quay lại.
Giả sử mỗi lượt có xác suất báo động giả ε>0, độc lập giữa các lượt. Sau n lượt, xác suất chưa từng có báo động giả là (1−ε)n. Khi n đủ lớn, con số này tiến về 0. Trên một chuỗi tương tác kéo dài vô hạn, một lỗi rất hiếm ở từng lượt rồi cũng sẽ xuất hiện với xác suất 1.
Điều ấy không có nghĩa chiến tranh chắc chắn xảy ra. Kết luận đó chỉ xuất hiện nếu ta còn giả định mỗi báo động giả đều kích hoạt trừng phạt không thể đảo ngược. Cách xử lý thông tin vì thế là một phần của bài toán: xác minh tín hiệu, trao đổi trực tiếp và có cơ hội sửa sai đều có thể làm thay đổi kết quả.
Trong một phiên bản đơn giản của mô hình, báo động giả làm ngưỡng duy trì hợp tác cao hơn. Phép tính nằm ở phụ lục. Điểm cần nhớ: một chiến lược rất hiệu quả khi thông tin hoàn hảo có thể trở nên mong manh khi người chơi không biết chắc chuyện gì vừa xảy ra.
Vậy chúng ta học được gì?
Điều mình thấy thú vị ở trò chơi lặp lại là nó giải thích được sự hợp tác mà không cần giả định hai bên quý mến nhau. Một người có thể giữ lời vì còn muốn hưởng lợi từ quan hệ ấy. Hai đối thủ có thể kiềm chế vì hiểu rằng phá vỡ kiềm chế sẽ khiến chính mình thiệt hại.
Nhưng “còn một tương lai để mất” chỉ là một phần câu chuyện. Các bên còn phải hiểu nhau đủ để biết thế nào là vi phạm, tin rằng hậu quả thực sự có thể xảy ra, và có cách tránh trừng phạt nhầm.
Hình 11 · Vụ nổ nhiệt hạch
Với vũ khí hạt nhân, còn phải thận trọng hơn khi chuyển từ mô hình sang thực tế. Khả năng trả đũa có thể làm việc đánh trước mất sức hấp dẫn. Nhưng chiến tranh hạt nhân cũng có thể phá huỷ chính cái tương lai mà mô hình đang dùng để giải thích sự kiềm chế. Không thể chỉ nhìn vào một bất đẳng thức rồi kết luận hoà bình đã được bảo đảm.
Grim Trigger cho thấy sức mạnh của một lời đe doạ kéo dài đến tương lai. Điểm yếu của nó cũng nằm ở đó: chiến lược ấy không biết quên, không phân biệt được một sự phản bội với một lỗi quan sát, trừ khi chúng ta chủ động đưa những khả năng ấy vào mô hình.
Có lẽ câu hỏi đáng quan tâm nhất không phải làm sao để đối phương sợ hậu quả mà giữ lời. Mà là làm sao để cả hai vẫn có cơ hội giải thích và sửa sai, trước khi một hiểu nhầm khiến họ không còn ngày mai để nói tiếp.
Phụ lục: phần toán phía sau câu chuyện
Phần này giữ lại các bước lập luận cho người muốn đọc kỹ. Các kết quả dưới đây thuộc về mô hình trừu tượng, không phải tham số đã kiểm định cho một cuộc đối đầu hạt nhân cụ thể.
Mô hình
Ở mỗi lượt t, hai bên đồng thời chọn C hoặc D, và trước lượt kế tiếp cả hai quan sát được cặp hành động vừa rồi. Lịch sử trước lượt t là ht−1=((aA,1,aB,1),…). Một chiến lược thuần chỉ định hành động sau mọi lịch sử, kể cả những lịch sử không xuất hiện trên đường cân bằng. Số chiến lược tăng theo cấp số nhân với số lượt, nên mô tả đầy đủ chỉ khả thi trong những trò chơi nhỏ.
Lợi ích của chuỗi vô hạn là
Vi=∞∑t=1δt−1ui(aA,t,aB,t), 0<δ<1.
Với lợi ích bị chặn, chuỗi này hội tụ. Ba công thức dùng trong bài:
∞∑t=0δt=11−δ, ∞∑t=1δt=δ1−δ, N−1∑t=0δt=1−δN1−δ.
Nếu quan hệ tiếp tục với xác suất p và hệ số chiết khấu thuần tuý là β, giá trị kỳ vọng có dạng ∑t=1∞(βp)t−1ui,t, tức là dùng δ=βp.
Vì sao hữu hạn thì tan rã
Xét N<∞ lượt, với số lượt, lợi ích và tính duy lý đều là thông tin chung. Trò chơi mỗi lượt có cân bằng Nash duy nhất (D,D).
Ở lượt N, sau mọi lịch sử, cân bằng phải là (D,D). Sang lượt N−1, lợi ích lượt cuối đã cố định ở P bất kể hành động hiện tại, nên phần còn phụ thuộc vào lựa chọn chỉ là ui(ai,N−1,a−i,N−1)+δP. Cộng cùng một hằng số vào mọi ô không làm đổi phản ứng tốt nhất, nên cân bằng ở N−1 cũng là (D,D). Lùi dần về lượt đầu, SPE duy nhất là chọn D ở mọi lượt, sau mọi lịch sử.
Kết quả này không nói mọi trò chơi hữu hạn đều không có hợp tác. Kreps, Milgrom, Roberts và Wilson (1982) chỉ ra rằng khi người chơi không chắc về lợi ích của nhau, động cơ xây dựng danh tiếng có thể tạo ra hợp tác trong thế lưỡng nan lặp hữu hạn.[5] Cơ chế ấy khác với việc chỉ không biết ngày kết thúc.
Điều kiện để Grim Trigger đứng vững
Có thể dùng nguyên lý lệch một lần: chỉ cần kiểm tra xem sau bất kỳ lịch sử nào, một người có được lợi khi đổi hành động đúng một lượt rồi quay lại chiến lược hay không, trong khi đối phương vẫn tuân thủ.
Chưa từng có vi phạm. Giữ lời được R/(1−δ); phản bội một lần rồi quay lại được T+δP/(1−δ). Điều kiện không lệch:
R1−δ≥T+δP1−δ ⟺R≥T−δ(T−P) ⟺δ≥δ∗=T−RT−P.
Có thể viết lại thành
T−Rlợi thêm khi phản bội≤δ(R−P)1−δtổn thất về sau,
để thấy rõ hai vế đang so cái gì.
Đã có vi phạm. Giữ hình phạt được P/(1−δ); hợp tác đúng một lượt được S+δP/(1−δ). Chênh lệch là P−S>0, nên không ai muốn lệch. Ghép hai trường hợp, Grim Trigger là SPE khi và chỉ khi δ≥δ∗.
S không có mặt trong δ∗, nhưng không phải không quan trọng. Điều kiện P>S mới là thứ bảo đảm hình phạt là phản ứng tốt nhất khi đối phương đang trừng phạt.
Với T=6,R=4,P=2,S=0: δ∗=1/2. Nếu T<R, (C,C) đã là cân bằng Nash của trò chơi một lượt, và công thức ngưỡng không còn là điều kiện cần để duy trì hợp tác.
Báo động giả
Giả sử trong giai đoạn hợp tác, cuối mỗi lượt có một tín hiệu công khai sai với xác suất ε, độc lập giữa các lượt; tín hiệu này đẩy cả hai sang trừng phạt từ lượt sau. Một hành động D thật thì luôn bị phát hiện. Một khi trừng phạt bắt đầu, cả hai chọn D vĩnh viễn, với P>S.
Gọi W là giá trị khi còn hợp tác và VP=P/(1−δ) là giá trị khi đã trừng phạt:
W=R+δ[(1−ε)W+εVP].
Trừ VP=P+δVP khỏi hai vế:
W−VP=R−P1−δ(1−ε).
Phản bội ở lượt hiện tại đem lại T+δVP, nên điều kiện giữ lời là W−VP≥T−P, tức:
R−P1−δ(1−ε)≥T−P⟺δ≥T−R(T−P)(1−ε).
Báo động giả làm phần tương lai giữ được bằng hành động hôm nay nhỏ đi, nên ngưỡng tăng. Nếu vế phải lớn hơn hoặc bằng 1, không có δ<1 nào thoả mãn.
Đây là kết quả cho đúng cơ chế vừa mô tả. Nếu vi phạm có thể lọt qua mà không bị phát hiện, nếu hai bên nhận tín hiệu khác nhau, hoặc nếu hình phạt có thời hạn, phải giải lại bài toán. Không có công thức nào dùng chung cho mọi loại thông tin không hoàn hảo.
Tài liệu và đọc thêm
Bài viết được phát triển từ nội dung Ec3519 – Topic 8: Repeated Games. Các nguồn dưới đây dùng để đối chiếu lý thuyết và những ví dụ lịch sử.
Để đọc sâu hơn về cam kết, lời đe doạ và răn đe, có thể tìm The Strategy of Conflict (1960) của Thomas C. Schelling.
Chú thích
- Federation of American Scientists, Status of World Nuclear Forces. Số 70.300 là ước tính cho toàn thế giới vào năm 1986, không phải tổng riêng Mỹ và Liên Xô vào năm 1991.
- Robert Axelrod (1984), The Evolution of Cooperation, đặc biệt chương 4 về hệ thống “live and let live” trong chiến tranh chiến hào. Xem thêm bài trình bày của chính Axelrod, trong đó có câu chuyện chiến hào và mô tả chiến lược tit-for-tat.
- Alexander Wolitzky (2022), Cooperation in Repeated Games, Communities, and Networks, MIT OpenCourseWare. Tài liệu tham khảo cho trò chơi lặp lại hữu hạn, Grim Trigger và nguyên lý lệch một lần.
- U.S. National Park Service, Stanislav Petrov, về sự kiện cảnh báo giả ngày 26/9/1983.
- David M. Kreps, Paul Milgrom, John Roberts và Robert Wilson (1982), “Rational Cooperation in the Finitely Repeated Prisoners’ Dilemma”, Journal of Economic Theory, 27(2), 245–252. DOI: 10.1016/0022-0531(82)90029-1.
